{"trustable":false,"prependHtml":"\u003cscript\u003e window.katexOptions \u003d { disable: true }; \u003c/script\u003e\n\u003cscript type\u003d\"text/x-mathjax-config\"\u003e\n MathJax.Hub.Config({\n tex2jax: {\n inlineMath: [[\u0027$$$\u0027,\u0027$$$\u0027], [\u0027$\u0027,\u0027$\u0027]],\n displayMath: [[\u0027$$$$$$\u0027,\u0027$$$$$$\u0027], [\u0027$$\u0027,\u0027$$\u0027]]\n }\n });\n\u003c/script\u003e\n\u003cscript async src\u003d\"https://mathjax.codeforces.org/MathJax.js?config\u003dTeX-AMS-MML_HTMLorMML\" type\u003d\"text/javascript\"\u003e\u003c/script\u003e","sections":[{"title":"","value":{"format":"HTML","content":"\u003cdiv class\u003d“panel_content”\u003e\n 考虑以下练习,该练习可在通用线性代数教科书中找到。\n \u003cbr\u003e\n \u003cbr\u003e\n 设 A 为 n 个× n 个矩阵。证明以下语句是等效的:\n \u003cbr\u003e\n \u003cbr\u003e\n 1. A 是可逆的。\n \u003cbr\u003e\n 2. Ax \u003d b 每 n × 1 个矩阵 b 正好有一个解。\n \u003cbr\u003e\n 3. Ax \u003d b 对于每 n × 1 个矩阵 b 是一致的。\n \u003cbr\u003e\n 4. Ax \u003d 0 只有平凡的解 x \u003d 0。\n \u003cbr\u003e\n \u003cbr\u003e\n 解决此类练习的典型方法是显示一系列含义。例如,人们可以继续证明(a)暗示(b),(b)暗示(c),(c)暗示(d),最后(d)暗示(a)。这四个含义表明这四个陈述是等价的。\n \u003cbr\u003e\n \u003cbr\u003e\n 另一种方法是证明(a)等同于(b)(通过证明(a)暗示(b)和(b)暗示(a)),(b)等同于(c),(c)等同于(d)。但是,这种方式需要证明六个含义,这显然比仅仅证明四个含义要多得多!\n \u003cbr\u003e\n \u003cbr\u003e\n 我被赋予了一些类似的任务,并且已经开始证明一些含义。现在我想知道,我还需要证明多少含义?你能帮我确定这个吗?\n\u003c/div\u003e"}},{"title":"Input","value":{"format":"HTML","content":"第一行一个正数:测试用例的数量,最多100个。之后每个测试用例:\n\u003cbr\u003e\n\u003cbr\u003e\n * 一行包含两个整数 n(1 ≤ n ≤ 20000) 和 m (0 ≤ m ≤ 50000):语句的数量和已经证明的含义的数量。\n\u003cbr\u003e\n * m 行,各有两个整数 s1 和 s2(1 ≤ s1、s2 ≤ n 和 s1 ≠ s2),表示已证明语句 s1 暗示语句 s2。"}},{"title":"Output","value":{"format":"HTML","content":"每个测试用例:\n\u003cbr\u003e\n\u003cbr\u003e\n * 一行包含需要证明的最少数量的附加含义,以证明所有陈述都是等效的。"}},{"title":"Sample","value":{"format":"HTML","content":"\u003ctable class\u003d\u0027vjudge_sample\u0027\u003e\n\u003cthead\u003e\n \u003ctr\u003e\n \u003cth\u003eInput\u003c/th\u003e\n \u003cth\u003eOutput\u003c/th\u003e\n \u003c/tr\u003e\n\u003c/thead\u003e\n\u003ctbody\u003e\n \u003ctr\u003e\n \u003ctd\u003e\u003cpre\u003e\u003cpre\u003e2\n4 0\n3 2\n1 2\n1 3\n\u003c/pre\u003e\u003c/pre\u003e\u003c/td\u003e\n \u003ctd\u003e\u003cpre\u003e\u003cpre\u003e4\n2\n\u003c/pre\u003e\u003c/pre\u003e\u003c/td\u003e\n \u003c/tr\u003e\n\u003c/tbody\u003e\n\u003c/table\u003e\n"}}]}