{"trustable":true,"sections":[{"title":"","value":{"format":"HTML","content":"\u003cdiv class\u003d\"challenge_problem_statement\"\u003e\u003cdiv class\u003d\"msB challenge_problem_statement_body\"\u003e\u003cdiv class\u003d\"hackdown-content\"\u003e\u003cstyle id\u003d\"MathJax_SVG_styles\"\u003e.MathJax_SVG_Display {text-align: center; margin: 1em 0em; position: relative; display: block!important; text-indent: 0; max-width: none; max-height: none; min-width: 0; min-height: 0; width: 100%}\n.MathJax_SVG .MJX-monospace {font-family: monospace}\n.MathJax_SVG .MJX-sans-serif {font-family: sans-serif}\n.MathJax_SVG {display: inline; font-style: normal; font-weight: normal; line-height: normal; font-size: 100%; font-size-adjust: none; text-indent: 0; text-align: left; text-transform: none; letter-spacing: normal; word-spacing: normal; word-wrap: normal; white-space: nowrap; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0; min-height: 0; border: 0; padding: 0; margin: 0}\n.MathJax_SVG * {transition: none; -webkit-transition: none; -moz-transition: none; -ms-transition: none; -o-transition: none}\n.mjx-svg-href {fill: blue; stroke: blue}\n\u003c/style\u003e\u003csvg style\u003d\"display: none;\"\u003e\u003cdefs id\u003d\"MathJax_SVG_glyphs\"\u003e\u003c/defs\u003e\u003c/svg\u003e\u003cp\u003eA \u003cstrong\u003eborder\u003c/strong\u003e of a string is a \u003ca href\u003d\"http://en.wikipedia.org/wiki/Substring#Prefix\"\u003eproper\u003c/a\u003e prefix of it that is also a suffix. For example:\u003c/p\u003e\n\n\u003cul\u003e\n\u003cli\u003e\u003ccode\u003ea\u003c/code\u003e and \u003ccode\u003eabra\u003c/code\u003e are borders of \u003ccode\u003eabracadabra\u003c/code\u003e,\u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\u003ccode\u003ekan\u003c/code\u003e and \u003ccode\u003ekankan\u003c/code\u003e are borders of \u003ccode\u003ekankankan\u003c/code\u003e. \u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\u003ccode\u003ede\u003c/code\u003e is a border of \u003ccode\u003edecode\u003c/code\u003e. \u003c/li\u003e\n\u003c/ul\u003e\n\n\u003cp\u003eNote that \u003ccode\u003edecode\u003c/code\u003e is not a border of \u003ccode\u003edecode\u003c/code\u003e because it\u0027s not proper.\u003c/p\u003e\n\n\u003cp\u003eA \u003cstrong\u003epalindromic border\u003c/strong\u003e is a border that is palindromic. For example,\u003c/p\u003e\n\n\u003cul\u003e\n\u003cli\u003e\u003ccode\u003ea\u003c/code\u003e and \u003ccode\u003eana\u003c/code\u003e are palindromic borders of \u003ccode\u003eanabanana\u003c/code\u003e, \u003c/li\u003e\n\u003cli\u003e\u003ccode\u003el\u003c/code\u003e, \u003ccode\u003elol\u003c/code\u003e and \u003ccode\u003elolol\u003c/code\u003e are palindromic borders of \u003ccode\u003elololol\u003c/code\u003e.\u003c/li\u003e\n\u003c/ul\u003e\n\n\u003cp\u003eLet\u0027s define \u003cspan style\u003d\"font-size: 100%; display: inline-block;\" class\u003d\"MathJax_SVG\" id\u003d\"MathJax-Element-1-Frame\"\u003e\u003csvg xmlns:xlink\u003d\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width\u003d\"5.032ex\" height\u003d\"2.843ex\" style\u003d\"vertical-align: -0.838ex;\" viewBox\u003d\"0 -863.1 2166.7 1223.9\" role\u003d\"img\" focusable\u003d\"false\"\u003e\u003cg stroke\u003d\"currentColor\" fill\u003d\"currentColor\" stroke-width\u003d\"0\" transform\u003d\"matrix(1 0 0 -1 0 0)\"\u003e\u003cpath stroke-width\u003d\"1\" d\u003d\"M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 1 33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM645 554Q645 567 643 575T634 597T609 619T560 635Q553 636 480 637Q463 637 445 637T416 636T404 636Q391 635 386 627Q384 621 367 550T332 412T314 344Q314 342 395 342H407H430Q542 342 590 392Q617 419 631 471T645 554Z\"\u003e\u003c/path\u003e\u003cg transform\u003d\"translate(918,0)\"\u003e\u003cpath stroke-width\u003d\"1\" d\u003d\"M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z\"\u003e\u003c/path\u003e\u003cg transform\u003d\"translate(389,0)\"\u003e\u003cpath stroke-width\u003d\"1\" d\u003d\"M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z\"\u003e\u003c/path\u003e\u003c/g\u003e\u003cg transform\u003d\"translate(859,0)\"\u003e\u003cpath stroke-width\u003d\"1\" d\u003d\"M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z\"\u003e\u003c/path\u003e\u003c/g\u003e\u003c/g\u003e\u003c/g\u003e\u003c/svg\u003e\u003c/span\u003e as the number of palindromic borders of string \u003cspan style\u003d\"font-size: 100%; display: inline-block;\" class\u003d\"MathJax_SVG\" id\u003d\"MathJax-Element-2-Frame\"\u003e\u003csvg xmlns:xlink\u003d\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width\u003d\"1.09ex\" height\u003d\"1.676ex\" style\u003d\"vertical-align: -0.338ex;\" viewBox\u003d\"0 -576.1 469.5 721.6\" role\u003d\"img\" focusable\u003d\"false\"\u003e\u003cg stroke\u003d\"currentColor\" fill\u003d\"currentColor\" stroke-width\u003d\"0\" transform\u003d\"matrix(1 0 0 -1 0 0)\"\u003e\u003cpath stroke-width\u003d\"1\" d\u003d\"M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z\"\u003e\u003c/path\u003e\u003c/g\u003e\u003c/svg\u003e\u003c/span\u003e. 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Given a string \u003cspan style\u003d\"font-size: 100%; display: inline-block;\" class\u003d\"MathJax_SVG\" id\u003d\"MathJax-Element-7-Frame\"\u003e\u003csvg xmlns:xlink\u003d\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width\u003d\"1.09ex\" height\u003d\"1.676ex\" style\u003d\"vertical-align: -0.338ex;\" viewBox\u003d\"0 -576.1 469.5 721.6\" role\u003d\"img\" focusable\u003d\"false\"\u003e\u003cg stroke\u003d\"currentColor\" fill\u003d\"currentColor\" stroke-width\u003d\"0\" transform\u003d\"matrix(1 0 0 -1 0 0)\"\u003e\u003cpath stroke-width\u003d\"1\" d\u003d\"M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z\"\u003e\u003c/path\u003e\u003c/g\u003e\u003c/svg\u003e\u003c/span\u003e, consisting only of the first 8 lowercase letters of the English alphabet, your task is to find the sum of \u003cspan style\u003d\"font-size: 100%; display: inline-block;\" class\u003d\"MathJax_SVG\" id\u003d\"MathJax-Element-8-Frame\"\u003e\u003csvg xmlns:xlink\u003d\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width\u003d\"5.717ex\" height\u003d\"2.843ex\" style\u003d\"vertical-align: -0.838ex;\" viewBox\u003d\"0 -863.1 2461.5 1223.9\" role\u003d\"img\" focusable\u003d\"false\"\u003e\u003cg stroke\u003d\"currentColor\" fill\u003d\"currentColor\" stroke-width\u003d\"0\" transform\u003d\"matrix(1 0 0 -1 0 0)\"\u003e\u003cpath stroke-width\u003d\"1\" d\u003d\"M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 1 33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM645 554Q645 567 643 575T634 597T609 619T560 635Q553 636 480 637Q463 637 445 637T416 636T404 636Q391 635 386 627Q384 621 367 550T332 412T314 344Q314 342 395 342H407H430Q542 342 590 392Q617 419 631 471T645 554Z\"\u003e\u003c/path\u003e\u003cg transform\u003d\"translate(918,0)\"\u003e\u003cpath stroke-width\u003d\"1\" d\u003d\"M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z\"\u003e\u003c/path\u003e\u003cg transform\u003d\"translate(389,0)\"\u003e\u003cpath stroke-width\u003d\"1\" d\u003d\"M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z\"\u003e\u003c/path\u003e\u003cg transform\u003d\"translate(469,362)\"\u003e\u003cpath stroke-width\u003d\"1\" transform\u003d\"scale(0.707)\" d\u003d\"M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z\"\u003e\u003c/path\u003e\u003c/g\u003e\u003c/g\u003e\u003cpath stroke-width\u003d\"1\" d\u003d\"M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z\" transform\u003d\"translate(1153,0)\"\u003e\u003c/path\u003e\u003c/g\u003e\u003c/g\u003e\u003c/svg\u003e\u003c/span\u003e for all the non-empty substrings \u003cspan style\u003d\"font-size: 100%; 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In other words, you need to find:\n\u003c/p\u003e\u003cdiv class\u003d\"MathJax_SVG_Display\" style\u003d\"text-align: center;\"\u003e\u003cspan style\u003d\"font-size: 100%; display: inline-block;\" class\u003d\"MathJax_SVG\" id\u003d\"MathJax-Element-11-Frame\"\u003e\u003csvg xmlns:xlink\u003d\"http://www.w3.org/1999/xlink\" width\u003d\"16.184ex\" height\u003d\"5.843ex\" style\u003d\"vertical-align: -3.338ex;\" viewBox\u003d\"0 -1078.4 6968 2515.6\" role\u003d\"img\" focusable\u003d\"false\"\u003e\u003cg stroke\u003d\"currentColor\" fill\u003d\"currentColor\" stroke-width\u003d\"0\" transform\u003d\"matrix(1 0 0 -1 0 0)\"\u003e\u003cg transform\u003d\"translate(862,0)\"\u003e\u003cpath stroke-width\u003d\"1\" d\u003d\"M60 948Q63 950 665 950H1267L1325 815Q1384 677 1388 669H1348L1341 683Q1320 724 1285 761Q1235 809 1174 838T1033 881T882 898T699 902H574H543H251L259 891Q722 258 724 252Q725 250 724 246Q721 243 460 -56L196 -356Q196 -357 407 -357Q459 -357 548 -357T676 -358Q812 -358 896 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